Блог учителя информатики и ИКТ Рыспаева Б.Б.: 9 класс. Катер и плот

Катер и плот

Рассмотрим следующую задачу.

От причала А вниз по течению реки отправляются одновременно катер и плот. Катер прибывает к причалу Б, расположенному на расстоянии 96 км от А и поворачивает обратно. На обратном пути катер встречает плот около причала В, находящегося в 24 км от А, и прибывает к причалу А через 14 часов после выхода. Требуется определить скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.

На уроках математики такие задачи решают, составляя уравнения. Уравнения – это математическая модель системы, о которой говорится в задаче. Мы найдем решение с помощью компьютерной модели.

В разделе "Катер" была построена модель катера. Ее можно рассматривать как модель произвольного движущегося объекта и построить по отдельности модель катера и модель плота. При этом географические точки или моменты начала отсчета для катера и для плота, вообще говоря, не обязаны совпадать. Однако не связанные друг с другом модели катера и плота мало помогут нам в решении задачи. Нужно, чтобы эти модели были согласованы. Иными словами требуется построить модель системы, образованной катером и плотом.

Выберем для катера и плота общую начальную точку, от которой будут отсчитываться расстояния и зафиксируем общий начальный момент времени.

Состояние системы катер-плот можно описать теперь по следующей схеме:

                            катер                        плот
    время        расст.        ск.        расст.        ск.
        t                x              u            y               v

пишем переход системы от состояния в момент t к состоянию в момент t' при условии, что катер и плот не меняют скоростей в промежутке времени от t до t' . Рассмотрим два состояния

                            катер                        плот
    время        расст.        ск.        расст.        ск.
        t                x              u            y               v
        t'               x'             u'            y'              v'

Так же, как и раньше для катера имеем

    x' - x = (t' - t) u ,            y' - y = (t' - t) v;
    t' - t = (x' - x) / u ,          t' - t = (y' - y) / v;
    u = (x' - x) / (t' - t),        v = (y' - y) / (t' - t);        (04)

Заметим, что для величины t' - t получилось сразу два выражения (x' - x) / u и (y' - y) / v. Так что если бы мы стали заполнять ячейки таблицы так же, как в случае одного катера, на место t' претендовали бы сразу две формулы

t' = t+(x' - x) / u, t' = t+(y' - y) / v.

Можно выразить то же самое по-другому: если, зная значения всех величин в первом состоянии, мы укажем во втором состоянии значения одной из величин t', x', y', то значения двух других определяются по формулам (04).

Это одно из проявлений того, что катер и плот рассматриваются не как отдельные движущиеся объекты, а как единая система (состоящая из двух движущихся объектов).

Составим общую компьютерную модель системы катер-плот.

Для удобства дальнейшей работы включим в эту модель две величины – скорость катера (т.е. скорость катера в стоячей воде) и скорость течения реки, С помощью этих величин мы будем «управлять» моделью.

Заполним электронную таблицу так, как показано на рисунке 29.

Рис. 29

Перейдем теперь к построению конкретной модели по условиям задачи.

Для анализа системы катер-плот особую роль играют четыре состояния:

1 – отплытие катера и плота от пристани А;
2 – поворот катера у пристани Б;
3 – встреча катера и плота;
4 – прибытие катера к пристани А.

В качестве «географической» точки отсчета выберем пристань А; в качестве «временной» – момент отправления катера и плота от пристани А. Предыдущие четыре состояния представлены на рисунке 30.

Обратимся снова к общей модели смены состояний в системе катер-плот (рис. 29). Скопируем строку 9 в строку 12, затем строку 10 в строки 13, 14, 15. Заполним ячейки в строках 12 – 15 в соответствии с условиями задачи. Сначала установим значения скорости катера и скорости течения реки. В дальнейшем мы будем их менять, поэтому сейчас не очень важно, какие именно значения установлены. Пусть будет
скорость катера 20
скорость течения 5

Рис. 30

Теперь установим скорость плота: во всех четырех состояниях она равна скорости течения реки. Поэтому в ячейки - F12, F13, F14, F15 заносим формулу $B$4 (абсолютная ссылка на ячейку B4 – скорость течения реки).

Далее, скорость катера при движении по течению реки равна сумме его скорости в стоячей воде и скорости течения реки; при движении против течения – разности (и направлена в отрицательном направлении). Поэтому в ячейку D12 заносим формулу $B$3+$B$4, а в ячейки D13 и D14 – формулу -$B$3+$B$4. В ячейку D15 (последнее состояние) заносим 0.

Введем теперь в таблицу данные из задачи.

В состоянии 1 катер и плот находятся у пристани А: в ячейки C12 и E12 устанавливаем 0.
В состоянии 2 катер находится у пристани Б, удаленной от А на 96 км: в C13 заносим 96.
В состоянии 3 катер находится у причала В на расстоянии 24 км от А: в ячейку C14 заносим 24.
В состоянии 4 катер находится снова у пристани А: в ячейку С15 заносим 0.

Проанализируем полученную таблицу. Состояния 3 и 4 (при скоростях, что были установлены выше) отличаются от тех, которые должны быть по условиям задачи:

катер прибывает к пристани А (состояние 4) не через 14 часов, а через 10,24 часа;
в момент, когда катер находится у пристани В на расстоянии 24 км от А, плот оказывается на расстоянии 43,2 км от пристани А.

Установим новые значения скорости катера и скорости течения реки. Например, скорость катера 25 скорость течения 10.

После пересчета мы видим, что снова состояния 3 и 4 расходятся с условиями задачи. Наша цель: подобрать скорости катера и плота так, чтобы выполнялись условия задачи. Это означает, что в ячейке B15 должно стоять значение 14 (катер вернулся через 14 часов), а значения в ячейках C14, E14 совпадают (в момент встречи катер и плот одинаково удалены от пристани А).

Упражнения

3. Постройте на одном листе графики движения катера и плота.

4. Каким образом по графикам можно определить, что в состоянии 3 произошла встреча катера и плота?

5. Подберите значения скоростей катера и течения реки так, чтобы выполнялись условия задачи.

Номер Вашего задания - Ваш номер по списку в журнале.

1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км, одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 20 мин после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

..................................................................................................................................................................................................................................

2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 6 км, одновременно выходит пешеход и выезжает велосипедист. Велосипедист доезжает до пункта В, сразу же поворачивает обратно и встречает пешехода через 36 мин после выезда из А. Известно, что скорость велосипедиста на 10 км/ч больше скорости пешехода. На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?

3. Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением вернуться обратно через 5 ч. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 8 км/ч. На какое наибольшее расстояние по реке они могут отплыть, если перед возвращением они планируют пробыть на берегу 3 ч?

4. Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с намерением вернуться назад через 5 ч. Перед возвращением он хочет побыть на берегу 2 ч. На какое наибольшее расстояние он может отплыть, если скорость течения реки 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

5. Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист, добираясь до озера и обратно, на горизонтальном участке пути ехал со скоростью 12 км/ч, на подъеме – со скоростью 8 км/ч, а на спуске – со скоростью 15 км/ч. Путь от поселка до озера занял у него 1 ч, а обратный путь – 46 мин. Найдите расстояние от поселка до озера.

6. Путь от дома отдыха до почты идет сначала в гору, а потом под гору. Пешеход, добираясь от дома отдыха до почты и обратно, в гору шел со скоростью 3 км/ч, а под гору – со скоростью 6 км/ч. Найдите расстояние от дома отдыха до почты, если до почты пешеход шел 1 ч 40 мин, а обратный путь занял у него 2 ч 20 мин.

7. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 25 км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Во время пути автомобиль сделал остановку на 2 мин, но в пункт В приехал на 3 мин раньше автобуса. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если известно, что скорость автобуса в 1,2 раза меньше скорости автомобиля.

8. Из пункта М в пункт N, расстояние между которыми 80 км, одновременно выехали два автомобиля. Во время пути один из автомобилей сделал остановку на 15 мин, но в пункт N приехал на 5 мин раньше второго. Известно, что его скорость в 1,5 раза больше скорости второго. Найдите скорость каждого автомобиля.

9. Из города А в город В, расстояние между которыми равно 30 км, выехал грузовик, а через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что он приехал в город В на 5 мин раньше грузовика.

10. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 4 км, отправились два пешехода. Второй пешеход вышел из пункта А на 10 мин позже первого, но пришел в пункт В на 2 мин раньше. Найдите скорость второго пешехода, если известно, что она на 1 км/ч больше скорости первого пешехода.

11. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от пункта А. Найдите скорость каждого, если известно, что пешеход, вышедший из А, шел со скоростью, на 1 км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую остановку.

12. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из В в А вышел пешеход. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость каждого, если известно, что они встретились в 24 км от пункта А.

13. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км. Через час велосипедисты встречаются и, не останавливаясь, продолжают ехать с той же скоростью. Первый прибывает в пункт В на 27 мин позже, чем второй в пункт А. Определите скорость каждого велосипедиста.

14. Два туриста выезжают одновременно на мопедах из пунктов М и N навстречу друг другу. Расстояние между М и N равно 50 км. Встретившись через час, туристы продолжают путь с той же скоростью. Первый прибывает в N на 50 мин раньше, чем второй в пункт М. Определите, с какой скоростью ехал каждый из них.

15. Лодка может проплыть 18 км по течению реки и еще 2 км против течения за то же время, какое требуется плоту, чтобы проплыть 8 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч.

16. Катер проплывает 8 км против течения реки и еще 30 км по течению за то же время, за которое плот может проплыть по этой реке 4 км. Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Блог учителя информатики и ИКТ Рыспаева Б.Б.

Страницы

9 класс. Катер и плот

Комментариев нет:

Отправить комментарий